目标：推到并记住 y ∝ V_def / V_acc

1) 加速段：V_acc → v

电子（质量 m_e，电荷量 |q|=e）在加速电压 V_acc 下获得动能（非相对论）：

e V_acc = ½ m_e v² ⇒ v = √( 2 e V_acc / m_e )

这一步是很多电子类模块的“共同起点”。

2) 偏转板内：V_def → E_y → a_y → y₁

两偏转板间距 d，加偏转电压 V_def（板间电场近似均匀）：

E_y ≈ V_def / d

电场力（取“量级”）：

F_y = |q| E_y ⇒ a_y = F_y / m_e = (e/m_e) · (V_def/d)

偏转板长度 l，电子在板内飞行时间：

t₁ = l / v

板内位移（匀加速，初始 v_y=0）：

y₁ = ½ a_y t₁² = ½ (e/m_e)(V_def/d) · (l²/v²)

3) 漂移段：v_y → y₂

出板时获得横向速度：

v_y = a_y t₁ = (e/m_e)(V_def/d) · (l/v)

从板末端到屏幕距离 L_d，漂移时间 t₂ = L_d / v，再偏转：

y₂ = v_y t₂ = (e/m_e)(V_def/d) · (l L_d / v²)

4) 合并并看清“比例关系”

总偏转（量级）：

y = y₁ + y₂ = (e/m_e)(V_def/d) · (l²/2 + l L_d) / v²

把 v² = 2 e V_acc / m_e 代入：

y = (V_def / V_acc) · (l²/2 + l L_d) / (2d)

因此（几何量固定时）：

y ∝ V_def / V_acc

记忆法：V_acc 越大电子越“硬”（更快、停留时间更短），所以同样 V_def 偏转更小。

5) 数字示波器的两条公式（采样与量化）

• 采样时刻：t_n = n / f_s（f_s 为采样率）
• 量化台阶（近似）：若满量程 ±A，Nbits 位量化，则
  • Δ ≈ 2A / 2^{Nbits}（相邻码间距）
  • 量化误差约在 [-Δ/2, +Δ/2]
• 混叠（定性记忆）：当 f 接近或超过 f_s/2，采样会把高频“折叠”成低频；
  常用表达：f_alias = |f - k f_s|（取整数 k 使 f_alias 落在 [0, f_s/2]）

目标：从 Beer–Lambert 到 Radon，再到 BP/FBP

1) 透射：μ(x,y) → I_out

设截面衰减系数为 μ(x,y)（单位 m⁻¹）。X 射线沿某条直线 L(θ,s) 穿过物体时：

I_out = I_in · exp( - ∫_L μ ds )

取对数得到“投影数据”（更接近线积分）：

p(θ,s) := -ln(I_out/I_in) = ∫_L μ ds

这就是 CT 里“投影不是照片、而是线积分”的核心。

2) Radon 变换：用一个方程描述“一条线”

用角度 θ 和偏移 s 表示直线：

x cosθ + y sinθ = s

于是：

p(θ,s) = ∫ μ(x,y) ds（沿这条线积分）

把 p(θ,s) 对所有 θ、s 排成二维图，就是 sinogram。

3) 为什么点会在 sinogram 上画出“正弦线”（必会题）

若物体里只有一个“点”在 (x0,y0)（理想 δ 点），它对投影的贡献集中在

s = x0 cosθ + y0 sinθ

当 θ 改变时，右边是 θ 的正弦型函数，因此在 sinogram 上形成一条“正弦轨迹”。

4) 简单反投影 BP：把每个角度的投影“铺回去”

反投影的直观写法：

μ_BP(x,y) = ∫ p(θ, x cosθ + y sinθ) dθ

含义：对每个角度，把投影值沿对应直线均匀“涂回”图像；多角度叠加后形成重建。

问题：BP 会让点扩散成 1/r 型模糊（低频偏强），所以边缘发糊、条纹明显。

5) 滤波反投影 FBP：先滤波再反投影（补偿模糊）

FBP 的结构（记住“先滤波再反投影”）：

μ_FBP(x,y) = ∫ ( p(θ,·) * h(·) )( x cosθ + y sinθ ) dθ

其中 h 是滤波核；在频域中等价于对每个角度的投影做：

P_filtered(ω) = |ω| · P(ω)（ramp filter）

直观：BP 让低频太强 → 乘上 |ω| 增强高频 → 边缘更清晰。

6) 离散角度数 N_angles：为什么角度少会出条纹

把连续积分 ∫ dθ 换成有限和 Σ：

μ(x,y) ≈ Σ_{k=0}^{N-1} p(θ_k, x cosθ_k + y sinθ_k)

N 越小，角度采样越稀疏，等价于在角度域欠采样 → 重建出现条纹伪影（streak artifact）。

目标：看清“绕组轴固定，但合成矢量在转”

1) 单相：只会“往返”

教学近似：某一相绕组产生的磁场（在空间某点的矢量贡献）与电流成正比：

B_a(t) = k · i_a(t) · u_a

单相：i_a(t) = I0 sin(ωt)，且 u_a 固定 ⇒

B(t) = k I0 sin(ωt) u_a

所以端点在一条直线段上往返（不是圆）。

2) 三相：三根“stick”叠加出旋转矢量

三相电流（幅值相同、相差 120°）：

i_a = I0 sin(ωt) i_b = I0 sin(ωt - 2π/3) i_c = I0 sin(ωt + 2π/3)

绕组轴（空间方向）也相差 120°：

u_a = (1,0) u_b = (cos120°, sin120°) = (-1/2, √3/2) u_c = (cos240°, sin240°) = (-1/2,-√3/2)

合成磁场：

B = k( i_a u_a + i_b u_b + i_c u_c )

计算 x、y 分量（把三相“加起来”）：

• B_x = k( i_a - (i_b+i_c)/2 )
  用恒等式 sin(α-β)+sin(α+β)=2sinα cosβ，得
  i_b+i_c = 2 I0 sin(ωt) cos(2π/3) = - I0 sin(ωt)
  所以 B_x = k( I0 sin(ωt) + ½ I0 sin(ωt) ) = (3/2)k I0 sin(ωt)

• B_y = k( (√3/2)(i_b - i_c) )
  用 sin(α-β)-sin(α+β) = -2cosα sinβ，得
  i_b-i_c = -2 I0 cos(ωt) sin(2π/3) = -√3 I0 cos(ωt)
  所以 B_y = k( (√3/2)(-√3 I0 cos(ωt)) ) = -(3/2)k I0 cos(ωt)

于是：

B(t) = (3/2)k I0 · ( sin(ωt), -cos(ωt) )

因此幅值恒定：

|B| = (3/2)k I0（常数）

端点轨迹为圆（旋转磁场）。

记忆法：三相=“三根 stick 在各自轴上伸缩”，但合成端点匀速绕圈，且幅值近恒定。

3) 单相 + 电容（两相近似）：椭圆与“接近圆”的条件

简化为两正交分量：

B_x = k I0 sin(ωt) B_y = k (r I0) sin(ωt - φ)（r 为幅值比例，φ 为相移）

参数方程一般是椭圆；当 r≈1 且 φ≈90° 时更接近圆。

目标：从 RLC 放电推到 I(t)，再推到 F(t)∝I² 与能量分配

安全边界：仅讨论理想化电路/物理关系，不涉及任何现实可执行制造或操作。

1) 串联 RLC 放电的微分方程

设电容初始电压 V0，回路电流 i(t)，电容电压 V_C(t)。

串联回路 KVL（无外加源）：

L di/dt + R i + V_C = 0

且 i = -C dV_C/dt（放电时电容电压下降，号记法不同不影响“形状”）。

消去 i 得到二阶方程：

d²V_C/dt² + (R/L) dV_C/dt + (1/LC) V_C = 0

定义：

ω0 = 1/√(LC)（无阻尼固有角频率） α = R/(2L)（阻尼系数）

2) 欠阻尼解（最常见、也最直观）

当 α < ω0，令 ω_d = √(ω0² - α²)：

V_C(t) = V0 e^{-αt} [ cos(ω_d t) + (α/ω_d) sin(ω_d t) ]

由 i = -C dV_C/dt 可得电流：

i(t) = (V0/(L ω_d)) e^{-αt} sin(ω_d t)

关键结论：

• i(t) ∝ V0（线性系统）
• 峰值电流随 R 增大而降低，随 C、L 改变而改变“快慢/振荡”

3) “I² 力”近似与运动学积分

教学近似（能量法常见写法）：

F(t) ≈ ½ · L' · i(t)²

其中 L' 是给定参数（电感随位置变化的“梯度”），此处不讨论结构来源。

忽略其它力时：

a(t) = F(t)/m

因此：

v(t) = ∫ a(t) dt ∝ ∫ i² dt x(t) = ∫ v(t) dt

加入简化摩擦（库仑摩擦）可写成：

a_eff(t) ≈ F(t)/m - μ g（并用 v≥0 夹紧，体现“损耗”）

4) 能量观点（最不容易出错的检查方式）

初始电容能量：

E0 = ½ C V0²

随时间：

• 电容能：E_C = ½ C V_C²
• 电感能：E_L = ½ L i²
• 电阻耗散（累积热）：E_R(t) = ∫ i² R dt
• 动能：E_K = ½ m v²
• 摩擦损失（简化）：E_f ≈ μ m g x

在理想/近似范围内应满足：

E_C + E_L + E_R + E_K + E_f ≈ E0

5) 重要缩放律（课堂预测题常用）

因为 i ∝ V0，所以：

F ∝ i² ∝ V0²

在其它参数固定、且“时间尺度变化不太大”的范围内， v、x 的量级常呈现接近 V0² 的增长趋势（教学结论，用于理解“为何加倍电压提升很快”）。

目标：推到 r ∝ √(m/q) / B，并理解“落点分离”

1) 加速：V_acc → v

单价正离子（q=+e）经加速电压 V_acc：

q V_acc = ½ m v² ⇒ v = √( 2 q V_acc / m )

2) 磁场偏转：B → r

速度垂直于磁场时，洛伦兹力提供向心力：

|q| v B = m v² / r ⇒ r = m v / (|q| B)

代入 v：

r = √( 2 m V_acc / (|q| B²) )

结论（牢记）：

• r ∝ √(m/q)
• r ∝ 1/B
• 在“仅加速模式”下 r ∝ √V_acc

3) 速度选择器模式：v = E/B

若先用交叉电场 E 与磁场 B 选速：

平衡条件：qE = qvB ⇒ v = E/B

再进入偏转磁场：

r = m v / (|q| B) = mE / (|q| B²)

4) 探测屏落点（与本页面几何一致）

设粒子从原点沿 +x 方向进入匀强 B，轨迹为半径 r 的圆弧，探测屏是竖直线 x = x_det。

圆弧可参数化为：

x = r sinθ y = r (1 - cosθ)

当到达屏幕 x = x_det：

sinθ = x_det / r

落点：

y_hit = r (1 - cosθ) = r [ 1 - √(1 - (x_det/r)² ) ]

因此 r 不同 ⇒ y_hit 不同 ⇒ 形成“分离”。

目标：把“电压→波长”与“磁透镜→聚焦”串起来

1) 德布罗意波长：V → λ

非相对论近似：

动量 p = √(2 m_e e V) 德布罗意：λ = h / p

合并：

λ(V) = h / √(2 m_e e V)

结论（趋势）：

• λ ∝ 1/√V（电压越高波长越短）

2) 磁透镜“为什么能聚焦”（高中可接受的推导）

磁场对运动电荷产生洛伦兹力：

F = q (v × B)

它不改变速度大小（理想情况下做功为 0），但改变速度方向（横向动量）。

把“聚焦强度”理解为“单位横向位移带来的角度改变”：

• 横向动量变化量级：Δp_⊥ ~ q B l（l 为有效作用长度）
• 纵向动量：p ~ m v ~ √V
• 于是偏转角量级：θ ~ Δp_⊥/p ∝ (B l)/√V

因此同样线圈电流（同样 B），V 越大越难弯（聚焦变弱）。

本仓库在可视化里用教学经验式：1/f ∝ I_lens² / √V（只保证趋势），用于让两张图联动。

3) 薄透镜近似：一条“最常用的光线公式”

把束线看成小角度光线，透镜在 z=z_L，屏在 z=z_S。

薄透镜“角度跳变”：

θ_out = θ_in - y/f

其中 y 是穿过透镜处的横向偏离，f 为焦距（越小聚焦越强）。

从源点（近似 y=0）发出不同入射角 θ_in 的光线：

• 到透镜：y_L = θ_in (z_L - z_0)
• 出透镜：θ_out = θ_in - y_L/f
• 到屏：y_S = y_L + θ_out (z_S - z_L)

屏上束斑大小由多条光线的 y_S 分布决定；调 f（通过 I_lens、V）会出现“最佳聚焦”附近的最小束斑。

目标：推到 ω_c = |q|B/m，并理解“共振/失谐”

1) 磁场让粒子绕圈：B → ω_c

速度垂直于磁场时：

|q| v B = m v² / r

两边除以 mv 得：

|q|B/m = v/r = ω_c

因此（非相对论）：

ω_c = |q|B/m f_c = ω_c/(2π)

关键点：ω_c 与半径无关（这是回旋加速器能用固定 RF 的根本原因）。

2) 缝隙加速：V_gap(t_cross) → ΔK

RF 电压可写成：

V_gap(t) = V̂ sin(ω_rf t)

粒子每半圈穿过一次缝隙；若在第 n 次穿越时刻为 t_n，能量增量量级为：

ΔK_n ≈ q · V_gap(t_n)

若 ω_rf 与 ω_c 匹配，使 t_n 总能落在“加速相位”，则 K 会逐次累积，轨迹螺旋外扩。

3) 失谐为何会“有时推有时拉”

若 ω_rf ≠ ω_c，则每次到达缝隙的相位

φ_n = ω_rf t_n

会逐步漂移。于是 V_gap(t_n) 的符号与大小会改变：有时加速（ΔK>0），有时减速（ΔK<0），平均加速变差甚至抵消。

4) 相对论效应（为何经典回旋加速器有上限）

当速度接近光速时，动量 p = γ m v，回旋角频率变为：

ω_c = |q|B/(γm)

能量增加 ⇒ γ 增大 ⇒ ω_c 下降 ⇒ 即使起初匹配也会逐步失谐。

目标：推到“漂移管长度 L_n ≈ v_n T/2”

1) 缝隙加速：相位决定加速还是减速

把 RF 纵向电场写成（示意）：

E_z(t) = Ê cos(ωt)

若缝隙长度为 g，等效加速电压：

V_gap ≈ Ê g

粒子在第 n 次穿越缝隙时刻为 t_n，则能量增量（教学写法）：

ΔK_n ≈ q V_gap cos(ω t_n + φ_0)

因此必须“相位同步”：保证 cos(...) 大多为正且不太小。

2) 漂移管：让粒子“等半个周期再出来”

漂移管内近似无场（不加速），目的：让粒子用时间对齐 RF 的相位翻转。

要让下一次穿缝隙仍然是“加速相位”，常取（π 模式直觉）：

Δt_n ≈ T/2 = 1/(2f)

若第 n 段漂移时速度约为 v_n，则长度应满足：

L_n ≈ v_n · Δt_n ≈ v_n · T/2

随着能量升高，v_n 变大 ⇒ L_n 逐级变长（这就是漂移管“越往后越长”的来源）。

3) 固定长度为什么会相位漂移

若 L_n 固定，则实际漂移时间 Δt_n = L / v_n 会越来越小（因为 v_n 增大）， 导致到达相位 ω t_n 越来越偏离最优，从而出现加速变差甚至减速的情况。

目标：从法拉第定律推到匝比，再连到功率因数

1) 匝比：V_s/V_p = N_s/N_p

理想变压器假设：两线圈耦合到同一主磁通 Φ(t)，线圈电压由法拉第电磁感应给出：

v_p(t) = N_p dΦ/dt v_s(t) = N_s dΦ/dt

相除得到（对任意时刻都成立）：

v_s/v_p = N_s/N_p

因此对有效值也有：

V_s,rms / V_p,rms = N_s/N_p

2) 电流比：由“功率近似守恒”得到

忽略损耗（理想）：

P_p ≈ P_s ⇒ V_p I_p ≈ V_s I_s

又 V_s/V_p = N_s/N_p，因此：

I_p ≈ (V_s/V_p) I_s = (N_s/N_p) I_s

等价写成：

I_s/I_p ≈ N_p/N_s

记忆法：电压按匝数比放大，电流按匝数比反比缩小，功率近似不变。

3) 负载为 RL：相量、阻抗与功率因数

负载阻抗：

Z = R + jωL

幅值：

|Z| = √(R² + (ωL)²)

电流滞后相位：

φ = arctan( ωL / R )（RL 负载中电流滞后电压）

有功功率：

P = V_rms I_rms cosφ

视在功率：

S = V_rms I_rms

无功功率：

Q = V_rms I_rms sinφ

功率因数：

cosφ = R/|Z|

目标：一张图背下三件事：ω0、α、欠/临界/过阻尼

1) 二阶方程（最标准写法）

串联 RLC 放电（与 M05 同源），电容电压满足：

d²V_C/dt² + (R/L) dV_C/dt + (1/LC) V_C = 0

定义：

ω0 = 1/√(LC) α = R/(2L)

分类：

• 欠阻尼：α < ω0（振荡衰减）
• 临界阻尼：α = ω0
• 过阻尼：α > ω0（不振荡，单调回零）

2) 欠阻尼时的通用解（本仓库直接用它画图）

ω_d = √(ω0² - α²)

V_C(t) = V0 e^{-αt} [ cos(ω_d t) + (α/ω_d) sin(ω_d t) ]

I(t) = (V0/(L ω_d)) e^{-αt} sin(ω_d t)

3) Q 值（高中常用近似）

Q ≈ ω0 L / R = (1/R) √(L/C)

Q 大 ⇒ 损耗相对小 ⇒ 振荡衰减慢，但带宽窄、对参数更敏感。

4) 能量交换与耗散（检验思路）

E_C = ½ C V_C² E_L = ½ L I² E_R(t) = ∫ I² R dt

理想情况下：E_C + E_L + E_R ≈ ½ C V0²。

目标：用“阻抗矩阵”推到电流与效率曲线 η(f)

1) 两个谐振回路与互感

两线圈电感 L1,L2，电容 C1,C2，等效电阻 R1,R2，互感：

M = k √(L1 L2)（k 为耦合系数，0≤k≤1）

谐振角频率（各自）：

ω01 = 1/√(L1 C1) ω02 = 1/√(L2 C2)（可因 detune 偏离）

Q 值定义（常用）：

Q ≈ ω0 L / R

2) 频域方程（相量法）

在角频率 ω 下，回路阻抗：

Z1 = R1 + jωL1 + 1/(jωC1) Z2 = (R2 + R_L) + jωL2 + 1/(jωC2)

耦合项为 jωM。列方程：

Z1 I1 + jωM I2 = V_s jωM I1 + Z2 I2 = 0

解得（背结构即可）：

I1 = V_s Z2 / (Z1 Z2 - (jωM)²) I2 = -V_s (jωM) / (Z1 Z2 - (jωM)²)

3) 功率与效率

输入功率（正弦稳态）：

P_in = ½ Re{ V_s I1* }

负载功率：

P_L = ½ |I2|² R_L

效率：

η = P_L / P_in

这就是页面上 η(f) 的来源。

4) “双峰/频响分裂”的根源（强耦合两个正常模）

当耦合较强且损耗较小（Q 大），系统更像两个耦合振子，会出现两个正常模频率， 表现为 η(f) 双峰；耦合越强，分裂越明显。

目标：从受力平衡推到 V_H = I B /(n q t)

1) 洛伦兹力把载流子“挤到一侧”

载流子漂移速度 v_d，在 B 中受磁力：

F_B = q v_d B（方向由 v×B 决定）

侧向堆积会形成霍尔电场 E_H，电场力：

F_E = q E_H

平衡条件（稳态）：

q E_H = q v_d B ⇒ E_H = v_d B

2) 把 v_d 换成可测的电流 I

电流密度：

J = n q v_d

若样品厚度 t，宽度 w，截面积 A = w t，电流：

I = J A = n q v_d w t

所以：

v_d = I / (n q w t)

代回 E_H = v_d B：

E_H = (I B)/(n q w t)

霍尔电压（跨宽度 w）：

V_H = E_H w = I B /(n q t)

符号由 q 决定：电子（q<0）则 V_H 取负（方向反转）。

3) 霍尔系数

R_H := E_H/(J B) = 1/(n q)

测出 R_H 的符号可判断主要载流子类型（电子/空穴）。

目标：把“电-机互逆”写成一套可复用的方程

1) 机械部分：受迫振动（统一写法）

简化为单自由度振子：

m x¨ + b x˙ + k x = F(t)

对正弦稳态 F(t)=Re{F̃ e^{jωt}}，位移相量：

X̃ = F̃ / Z_m

其中机械“阻抗”（更准确说是动态刚度）：

Z_m = k - mω² + j b ω

幅值：

|X̃| = |F̃| / |Z_m|

共振频率（弱阻尼近似）：

f0 ≈ (1/2π) √(k/m)

2) 扬声器：V_in → I → F=BL·I → x

线圈电阻电感组成电阻抗：

Z_e = R_coil + jω L_coil

电流相量：

Ĩ = Ṽ_in / Z_e

力因子（互逆常数）BL：

F̃ = (BL) Ĩ

于是：

X̃ = (BL) Ṽ_in / ( Z_e · Z_m )

这解释了：电感会让电流滞后（相位变化），机械共振会让 |Z_m| 变小从而位移变大。

3) 麦克风：F_ext → x → v → e=BL·v

外界等效力：

F̃_ext → X̃ = F̃_ext / Z_m

速度相量：

Ṽ_mech = jω X̃

动圈切割磁场产生感应电动势（互逆）：

ẽ = (BL) · Ṽ_mech = jω (BL) X̃

更完整的电路输出应再乘以分压（负载、线圈阻抗），但本仓库为突出互逆关系，教学近似取：

V_out ≈ e

因此输出幅值：

|V_out| ∝ ω · BL · |X|

4) 互逆性一句话

同一个 BL 同时出现在：

• 扬声器受力：F = BL · I
• 麦克风感应：e = BL · v

它的量纲可记作：N/A，也等价于 V·s/m（因为 e/v 的单位是 V / (m/s)）。

目标：从法拉第定律走到集肤深度 δ ≈ √(2ρ/(ωμ))，再理解功率趋势

1) 感应电场的“频率放大效应”

法拉第定律：

∮ E · dl = - dΦ/dt

若磁通 Φ 近似随时间正弦变化：Φ = Φ̂ sin(ωt)，则：

|dΦ/dt|_peak = ω Φ̂

因此感应电场（量级）随 ω 增大而增大：E_ind ∝ ωB（趋势记忆）。

2) 涡流与焦耳热

导体电导率 σ = 1/ρ，欧姆定律（局部形式）：

J = σ E

焦耳热功率密度：

p = J·E = σ E² = J² ρ

因此（在几何相近时）总体功率常呈现：

P ∝ (ω² B²)/ρ（趋势，忽略集肤）

3) 集肤深度 δ（结果要会用、会判趋势）

在高频下，电磁量在导体内部满足“扩散型方程”，解呈指数衰减：

E(x) ~ E0 e^{-x/δ}

集肤深度（标准结果）：

δ = √( 2ρ / (ω μ) )

趋势：

• δ ∝ 1/√f：频率越高，电流越集中在表面
• δ ∝ √ρ：电阻率越大，渗透更深

4) 厚度 t 与“有效体积”

当材料厚度 t 与 δ 比较：

• t ≫ δ：主要表面一层在发热，增厚对功率提升不明显
• t ~ δ：更大体积参与，功率对厚度更敏感

本仓库用一个教学指标表达这点（趋势用）：

P_rel ~ (ω² B²/ρ) · (1 - e^{-t/δ})

它把“驱动强度”与“参与体积”两个因素合在一起，便于课堂讨论。