M02 示波器 vs CRT:偏转、时基、采样
CRT(阴极射线管)是“显示器件”;示波器是“测量系统”。老式模拟示波器常用 CRT 显示, 现代示波器多用 LCD,但测量功能(时基、触发、输入阻抗、采样量化)仍然存在。
这个模块用简化模型展示:电子被加速电压 V_acc 加速,进入偏转板后受电场力偏转。
近似结论:屏上偏转 y ∝ V_def / V_acc(电场偏转灵敏度随加速电压增大而减小)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:推到并记住 y ∝ V_def / V_acc
1) 加速段:V_acc → v
电子(质量 m_e,电荷量 |q|=e)在加速电压 V_acc 下获得动能(非相对论):
e V_acc = ½ m_e v² ⇒ v = √( 2 e V_acc / m_e )
这一步是很多电子类模块的“共同起点”。
2) 偏转板内:V_def → E_y → a_y → y₁
两偏转板间距 d,加偏转电压 V_def(板间电场近似均匀):
E_y ≈ V_def / d
电场力(取“量级”):
F_y = |q| E_y ⇒ a_y = F_y / m_e = (e/m_e) · (V_def/d)
偏转板长度 l,电子在板内飞行时间:
t₁ = l / v
板内位移(匀加速,初始 v_y=0):
y₁ = ½ a_y t₁² = ½ (e/m_e)(V_def/d) · (l²/v²)
3) 漂移段:v_y → y₂
出板时获得横向速度:
v_y = a_y t₁ = (e/m_e)(V_def/d) · (l/v)
从板末端到屏幕距离 L_d,漂移时间 t₂ = L_d / v,再偏转:
y₂ = v_y t₂ = (e/m_e)(V_def/d) · (l L_d / v²)
4) 合并并看清“比例关系”
总偏转(量级):
y = y₁ + y₂ = (e/m_e)(V_def/d) · (l²/2 + l L_d) / v²
把 v² = 2 e V_acc / m_e 代入:
y = (V_def / V_acc) · (l²/2 + l L_d) / (2d)
因此(几何量固定时):
y ∝ V_def / V_acc
记忆法:V_acc 越大电子越“硬”(更快、停留时间更短),所以同样 V_def 偏转更小。
5) 数字示波器的两条公式(采样与量化)
- 采样时刻:
t_n = n / f_s(f_s为采样率) - 量化台阶(近似):若满量程
±A,Nbits位量化,则Δ ≈ 2A / 2^{Nbits}(相邻码间距)- 量化误差约在
[-Δ/2, +Δ/2]
- 混叠(定性记忆):当
f接近或超过f_s/2,采样会把高频“折叠”成低频;
常用表达:f_alias = |f - k f_s|(取整数k使f_alias落在[0, f_s/2])
参数
图表
常见误区
- “示波器=CRT”:不对。CRT 只是显示器件;示波器还包含输入衰减/耦合、时基、触发、放大等测量系统。
- “V_acc 越大偏转越大”:在电场偏转模型中相反,
y ∝ V_def / V_acc,V_acc 越大电子越“硬”。 - “采样率只要比信号频率大就行”:需要满足奈奎斯特条件
f_s ≥ 2 f才能避免混叠(理想情况)。 - “位数越低只是更粗糙”:低位数会引入量化噪声/台阶,影响幅值与细节判断。
引导问题
引导问题(3~5 分钟)
- 预测:把 V_acc 加倍,屏幕上同样 A_y 的正弦波高度会怎样变化?
- 验证:分别把 f_s 调到 1.2 f_y 和 10 f_y,数字波形出现了什么差异?
- 解释:用“电子速度变大 → 在偏转板内停留时间变短”解释
y ∝ 1/V_acc的趋势。 - 拓展:为什么真实示波器需要触发?如果没有触发,屏幕图形会发生什么?
M03 XCT/CT:投影→正弦图→重建
XCT(X-ray CT)把许多角度的“投影”(线积分)组织成 正弦图(sinogram),再用数学重建得到截面图像。 直观理解:角度越多,重建越接近原图;角度太少会产生条纹伪影。
点击“旋转采集/暂停”可以看到:采集角度 θ 逐步变化;phantom 上的“当前投影角度”指示线随之旋转, sinogram 上的竖线指示当前采集到哪一列投影。
本页面用简化模型演示:phantom → Radon 投影 → sinogram → 反投影/滤波反投影(FBP) 重建。 为保证离线交互性能,重建结果在 Python 端对离散参数做了预计算。 你可以把它理解为:sinogram 就是 Radon 变换的输出;BP 是把每个角度的投影“沿着该角度铺回去”(反投影/伴随算子); FBP 则是在反投影前对投影做滤波来补偿模糊,从而边缘更清晰。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:从 Beer–Lambert 到 Radon,再到 BP/FBP
1) 透射:μ(x,y) → I_out
设截面衰减系数为 μ(x,y)(单位 m⁻¹)。X 射线沿某条直线 L(θ,s) 穿过物体时:
I_out = I_in · exp( - ∫_L μ ds )
取对数得到“投影数据”(更接近线积分):
p(θ,s) := -ln(I_out/I_in) = ∫_L μ ds
这就是 CT 里“投影不是照片、而是线积分”的核心。
2) Radon 变换:用一个方程描述“一条线”
用角度 θ 和偏移 s 表示直线:
x cosθ + y sinθ = s
于是:
p(θ,s) = ∫ μ(x,y) ds(沿这条线积分)
把 p(θ,s) 对所有 θ、s 排成二维图,就是 sinogram。
3) 为什么点会在 sinogram 上画出“正弦线”(必会题)
若物体里只有一个“点”在 (x0,y0)(理想 δ 点),它对投影的贡献集中在
s = x0 cosθ + y0 sinθ
当 θ 改变时,右边是 θ 的正弦型函数,因此在 sinogram 上形成一条“正弦轨迹”。
4) 简单反投影 BP:把每个角度的投影“铺回去”
反投影的直观写法:
μ_BP(x,y) = ∫ p(θ, x cosθ + y sinθ) dθ
含义:对每个角度,把投影值沿对应直线均匀“涂回”图像;多角度叠加后形成重建。
问题:BP 会让点扩散成 1/r 型模糊(低频偏强),所以边缘发糊、条纹明显。
5) 滤波反投影 FBP:先滤波再反投影(补偿模糊)
FBP 的结构(记住“先滤波再反投影”):
μ_FBP(x,y) = ∫ ( p(θ,·) * h(·) )( x cosθ + y sinθ ) dθ
其中 h 是滤波核;在频域中等价于对每个角度的投影做:
P_filtered(ω) = |ω| · P(ω)(ramp filter)
直观:BP 让低频太强 → 乘上 |ω| 增强高频 → 边缘更清晰。
6) 离散角度数 N_angles:为什么角度少会出条纹
把连续积分 ∫ dθ 换成有限和 Σ:
μ(x,y) ≈ Σ_{k=0}^{N-1} p(θ_k, x cosθ_k + y sinθ_k)
N 越小,角度采样越稀疏,等价于在角度域欠采样 → 重建出现条纹伪影(streak artifact)。
参数
图表
常见误区
- “CT 就是把很多张照片叠加”:不对。CT 的核心是 投影数据 与 数学重建(Radon 变换思想)。
- “角度越多就一定完全没噪声”:角度多能减小欠采样伪影,但噪声仍会通过重建传播。
- “FBP 是魔法”:FBP 本质是在反投影前对投影做滤波(补偿反投影的低频过强)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 N_angles 从 30 改到 180,sinogram 会变“密”还是“稀”?重建条纹会如何变化?
- 验证:固定 σ,对比 BP 与 FBP。哪一种边缘更清晰?为什么需要“滤波”?
- 解释:用“线积分/投影”的语言解释:为什么一个点在 sinogram 上会画出一条正弦样曲线?
- 拓展:真实 CT 中还有哪些会影响重建质量?(散射、硬化、运动、有限探测器……)
M04 交流电机:旋转磁场可视化
交流电机的核心直观:线圈电流 → 磁场;多相电流叠加可形成旋转磁场。 单相电流只产生往返的“脉动磁场”,起动困难;三相 120° 相位差可形成近恒幅旋转磁场; 单相 + 电容可人为制造相位差,得到椭圆形“近似旋转”。
本页同时给出“相电流波形(电路观点)”与“合成磁场矢量端点轨迹(电磁场观点)”。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:看清“绕组轴固定,但合成矢量在转”
1) 单相:只会“往返”
教学近似:某一相绕组产生的磁场(在空间某点的矢量贡献)与电流成正比:
B_a(t) = k · i_a(t) · u_a
单相:i_a(t) = I0 sin(ωt),且 u_a 固定 ⇒
B(t) = k I0 sin(ωt) u_a
所以端点在一条直线段上往返(不是圆)。
2) 三相:三根“stick”叠加出旋转矢量
三相电流(幅值相同、相差 120°):
i_a = I0 sin(ωt) i_b = I0 sin(ωt - 2π/3) i_c = I0 sin(ωt + 2π/3)
绕组轴(空间方向)也相差 120°:
u_a = (1,0) u_b = (cos120°, sin120°) = (-1/2, √3/2) u_c = (cos240°, sin240°) = (-1/2,-√3/2)
合成磁场:
B = k( i_a u_a + i_b u_b + i_c u_c )
计算 x、y 分量(把三相“加起来”):
B_x = k( i_a - (i_b+i_c)/2 )
用恒等式sin(α-β)+sin(α+β)=2sinα cosβ,得i_b+i_c = 2 I0 sin(ωt) cos(2π/3) = - I0 sin(ωt)
所以B_x = k( I0 sin(ωt) + ½ I0 sin(ωt) ) = (3/2)k I0 sin(ωt)
B_y = k( (√3/2)(i_b - i_c) )
用sin(α-β)-sin(α+β) = -2cosα sinβ,得i_b-i_c = -2 I0 cos(ωt) sin(2π/3) = -√3 I0 cos(ωt)
所以B_y = k( (√3/2)(-√3 I0 cos(ωt)) ) = -(3/2)k I0 cos(ωt)
于是:
B(t) = (3/2)k I0 · ( sin(ωt), -cos(ωt) )
因此幅值恒定:
|B| = (3/2)k I0(常数)
端点轨迹为圆(旋转磁场)。
记忆法:三相=“三根 stick 在各自轴上伸缩”,但合成端点匀速绕圈,且幅值近恒定。
3) 单相 + 电容(两相近似):椭圆与“接近圆”的条件
简化为两正交分量:
B_x = k I0 sin(ωt) B_y = k (r I0) sin(ωt - φ)(r 为幅值比例,φ 为相移)
参数方程一般是椭圆;当 r≈1 且 φ≈90° 时更接近圆。
参数
图表
常见误区
- “单相交流一定产生旋转磁场”:不对。单相主要是脉动磁场;要形成旋转需要相位差(两相/三相)。
- “三相电流相加会互相抵消所以没磁场”:电流的空间方向不同,叠加得到的是旋转矢量而非恒为零。
- “频率越高转得越快越好”:同步转速随频率增大,但损耗、铁心涡流等也会增加(工程细节此处不展开)。
引导问题
引导问题
- 预测:单相模式下,端点轨迹会是圆还是线?为什么?
- 验证:切到三相模式,观察 |B| 是否近似恒定;这对“转矩平稳”意味着什么?
- 解释:用“相位差”解释电容模式中端点轨迹为什么变成椭圆。
- 拓展:如果辅助绕组比例太小/太大,会发生什么?如何让椭圆更接近圆?
M05 理想化导轨:RLC 放电 + I² 力 + 能量条
安全边界:本模块仅用于课堂讨论的理想化物理与电路仿真(RLC 放电波形 + 能量观点 + I² 力近似)。 不提供任何现实可执行的制造、材料选型、加工、装配或危险操作指导。
理想化模型:
电容初能量 E0=½CV0²;
放电电流由串联 RLC 决定;
采用能量法的常见近似 F ≈ ½·L'·I²(L' 为“电感梯度”参数,仅作为给定常数)。
通过积分可以得到速度/位移,并用能量条展示“电容能 → 动能/热/剩余”。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:从 RLC 放电推到 I(t),再推到 F(t)∝I² 与能量分配
安全边界:仅讨论理想化电路/物理关系,不涉及任何现实可执行制造或操作。
1) 串联 RLC 放电的微分方程
设电容初始电压 V0,回路电流 i(t),电容电压 V_C(t)。
串联回路 KVL(无外加源):
L di/dt + R i + V_C = 0
且 i = -C dV_C/dt(放电时电容电压下降,号记法不同不影响“形状”)。
消去 i 得到二阶方程:
d²V_C/dt² + (R/L) dV_C/dt + (1/LC) V_C = 0
定义:
ω0 = 1/√(LC)(无阻尼固有角频率) α = R/(2L)(阻尼系数)
2) 欠阻尼解(最常见、也最直观)
当 α < ω0,令 ω_d = √(ω0² - α²):
V_C(t) = V0 e^{-αt} [ cos(ω_d t) + (α/ω_d) sin(ω_d t) ]
由 i = -C dV_C/dt 可得电流:
i(t) = (V0/(L ω_d)) e^{-αt} sin(ω_d t)
关键结论:
i(t) ∝ V0(线性系统)- 峰值电流随
R增大而降低,随C、L改变而改变“快慢/振荡”
3) “I² 力”近似与运动学积分
教学近似(能量法常见写法):
F(t) ≈ ½ · L' · i(t)²
其中 L' 是给定参数(电感随位置变化的“梯度”),此处不讨论结构来源。
忽略其它力时:
a(t) = F(t)/m
因此:
v(t) = ∫ a(t) dt ∝ ∫ i² dt x(t) = ∫ v(t) dt
加入简化摩擦(库仑摩擦)可写成:
a_eff(t) ≈ F(t)/m - μ g(并用 v≥0 夹紧,体现“损耗”)
4) 能量观点(最不容易出错的检查方式)
初始电容能量:
E0 = ½ C V0²
随时间:
- 电容能:
E_C = ½ C V_C² - 电感能:
E_L = ½ L i² - 电阻耗散(累积热):
E_R(t) = ∫ i² R dt - 动能:
E_K = ½ m v² - 摩擦损失(简化):
E_f ≈ μ m g x
在理想/近似范围内应满足:
E_C + E_L + E_R + E_K + E_f ≈ E0
5) 重要缩放律(课堂预测题常用)
因为 i ∝ V0,所以:
F ∝ i² ∝ V0²
在其它参数固定、且“时间尺度变化不太大”的范围内, v、x 的量级常呈现接近 V0² 的增长趋势(教学结论,用于理解“为何加倍电压提升很快”)。
参数
图表
常见误区
- “峰值电流越大末速度一定越大”:不对。末速度取决于能量转化,与波形、R 损耗、摩擦等有关。
- “电磁力凭空产生能量”:不对。能量主要来自电容初始能量
½CV0²,并在电路/运动之间分配。 - “只要提高 V0 就无限提升”:理想模型里 v 随 V0² 增长很快,但真实系统会受到击穿、发热、结构强度等限制(此处不展开工程细节)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 V0 加倍,I(t) 的峰值会怎样变化?x(t)、v(t) 的量级变化更像“×2”还是“×4”?
- 验证:固定 C、L,分别把 R 调大/调小,比较能量条中“热”与“动能”的占比。
- 解释:为什么 I(t) 是一个先上升后衰减(甚至振荡)的波形?用 RLC 的能量交换解释。
- 拓展:如果轨道长度有限,为什么“更大的峰值电流”不一定转化为更大的出口速度?
M06 质谱仪:V 与 B 决定轨迹半径
质谱仪用电场加速与磁场偏转把不同 m/q 的粒子分开:
qV = ½mv²,
r = mv/(|q|B)。
因此在固定 V、B 下,半径 r 与 √(m/q) 有关。
也可以加入速度选择器:v = E/B,让进入磁场的粒子速度更一致。
本页面用理想化 2D 圆弧轨迹展示“落点分离”,并给出读数 v、r 与分离度(定性)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:推到 r ∝ √(m/q) / B,并理解“落点分离”
1) 加速:V_acc → v
单价正离子(q=+e)经加速电压 V_acc:
q V_acc = ½ m v² ⇒ v = √( 2 q V_acc / m )
2) 磁场偏转:B → r
速度垂直于磁场时,洛伦兹力提供向心力:
|q| v B = m v² / r ⇒ r = m v / (|q| B)
代入 v:
r = √( 2 m V_acc / (|q| B²) )
结论(牢记):
r ∝ √(m/q)r ∝ 1/B- 在“仅加速模式”下
r ∝ √V_acc
3) 速度选择器模式:v = E/B
若先用交叉电场 E 与磁场 B 选速:
平衡条件:qE = qvB ⇒ v = E/B
再进入偏转磁场:
r = m v / (|q| B) = mE / (|q| B²)
4) 探测屏落点(与本页面几何一致)
设粒子从原点沿 +x 方向进入匀强 B,轨迹为半径 r 的圆弧,探测屏是竖直线 x = x_det。
圆弧可参数化为:
x = r sinθ y = r (1 - cosθ)
当到达屏幕 x = x_det:
sinθ = x_det / r
落点:
y_hit = r (1 - cosθ) = r [ 1 - √(1 - (x_det/r)² ) ]
因此 r 不同 ⇒ y_hit 不同 ⇒ 形成“分离”。
参数
图表
常见误区
- “B 越大半径越大”:不对,
r ∝ 1/B,磁场越强弯得越厉害。 - “电压越大弯得越厉害”:对仅加速模式,电压越大速度越大,反而
r ∝ √V增大。 - “m 越大一定更难偏转”:要看 m/q。带电量不同(q 不同)会显著影响轨迹。
引导问题
引导问题
- 预测:把 B 加倍,轨迹半径 r 会变成原来的多少?落点会如何移动?
- 验证:在“仅加速”与“速度选择器”两种模式下,改变 V_acc 对落点的影响是否相同?为什么?
- 解释:用
qV=½mv²与r=mv/(qB)推导出 r 与 V、B、m/q 的关系。
M07 电子显微镜:电压→波长,磁透镜→聚焦
电子显微镜的两个“高中层级”抓手:
- 电压 → 电子波长:德布罗意关系
λ = h/√(2meV)(此处用非相对论近似)。 - 磁透镜 → 聚焦:线圈电流产生磁场,对运动电子施加洛伦兹力,使电子束像“光线”一样会聚/发散(定性)。
本页用“薄透镜近似”的光线追迹展示聚焦效果,并给出 λ(V) 曲线与当前读数。 为了让两张图更“联动”,这里把加速电压 V 对聚焦强度的影响也做了教学近似:V 越大电子越快,同样 I_lens 的聚焦越弱(焦距更长)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:把“电压→波长”与“磁透镜→聚焦”串起来
1) 德布罗意波长:V → λ
非相对论近似:
动量 p = √(2 m_e e V) 德布罗意:λ = h / p
合并:
λ(V) = h / √(2 m_e e V)
结论(趋势):
λ ∝ 1/√V(电压越高波长越短)
2) 磁透镜“为什么能聚焦”(高中可接受的推导)
磁场对运动电荷产生洛伦兹力:
F = q (v × B)
它不改变速度大小(理想情况下做功为 0),但改变速度方向(横向动量)。
把“聚焦强度”理解为“单位横向位移带来的角度改变”:
- 横向动量变化量级:
Δp_⊥ ~ q B l(l为有效作用长度) - 纵向动量:
p ~ m v ~ √V - 于是偏转角量级:
θ ~ Δp_⊥/p ∝ (B l)/√V
因此同样线圈电流(同样 B),V 越大越难弯(聚焦变弱)。
本仓库在可视化里用教学经验式:1/f ∝ I_lens² / √V(只保证趋势),用于让两张图联动。
3) 薄透镜近似:一条“最常用的光线公式”
把束线看成小角度光线,透镜在 z=z_L,屏在 z=z_S。
薄透镜“角度跳变”:
θ_out = θ_in - y/f
其中 y 是穿过透镜处的横向偏离,f 为焦距(越小聚焦越强)。
从源点(近似 y=0)发出不同入射角 θ_in 的光线:
- 到透镜:
y_L = θ_in (z_L - z_0) - 出透镜:
θ_out = θ_in - y_L/f - 到屏:
y_S = y_L + θ_out (z_S - z_L)
屏上束斑大小由多条光线的 y_S 分布决定;调 f(通过 I_lens、V)会出现“最佳聚焦”附近的最小束斑。
参数
图表
常见误区
- “电压越高就一定无限清晰”:不对。分辨率还受像差、稳定性、样品与探测等限制(工程细节不展开)。
- “磁力把电子吸向某点”:更合理的说法是:磁场对运动电荷产生洛伦兹力,改变其横向动量,使束线会聚。
- “λ 很小就意味着能看到任意小”:波长只是一个因素;成像系统的像差与噪声也很关键。
引导问题
引导问题
- 预测:把 V 从 2 kV 提到 8 kV,λ 会变成原来的多少?(观察曲线)
- 验证:固定发散角,调 I_lens,束斑半径会出现“最小值”吗?为什么?
- 解释:用“薄透镜:θ_out = θ_in - y/f”解释:为什么焦距变短会更强烈地改变束线斜率?
M08 回旋加速器:共振与失谐
回旋加速器(cyclotron)的“高中直觉”可以拆成一句话: 磁场让粒子绕圈,缝隙里的交变电场每半圈给它“再推一把”。
(电磁场) 在近似均匀的磁场 B 中,粒子受洛伦兹力做圆周运动,半径与速度满足
r = mv/(|q|B)。
非相对论近似下,回旋角频率与半径无关:
ω_c = |q|B/m,对应频率 f_c = ω_c/(2π)。
这就是“可以用固定 RF 频率”的关键原因。
(电路) 两个 D 形电极之间由 RF 电源提供正弦电压(可理解成“交流高频电源/谐振腔”):
当粒子每次穿过缝隙时,如果恰好遇到“加速相位”,就会获得能量增量(符号由相位决定):
ΔK ≈ q·V_gap·sin(相位)(教学近似)。
频率对准且相位合适时,能量会一圈圈累积,轨迹向外扩展成螺旋。
失谐(f_rf ≠ f_c)时,粒子到达缝隙的相位会逐渐漂移:有时推、有时拉,平均加速变差甚至抵消,
你会看到能量增长减慢、相位曲线“跑掉”、轨迹不再平滑外扩。
相对论开关打开后,能量升高使 γ 增大,等效回旋频率变为 ω_c=|q|B/(γm),
即使最初对准也会逐步失谐(经典回旋加速器的限制之一)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:推到 ω_c = |q|B/m,并理解“共振/失谐”
1) 磁场让粒子绕圈:B → ω_c
速度垂直于磁场时:
|q| v B = m v² / r
两边除以 mv 得:
|q|B/m = v/r = ω_c
因此(非相对论):
ω_c = |q|B/m f_c = ω_c/(2π)
关键点:ω_c 与半径无关(这是回旋加速器能用固定 RF 的根本原因)。
2) 缝隙加速:V_gap(t_cross) → ΔK
RF 电压可写成:
V_gap(t) = V̂ sin(ω_rf t)
粒子每半圈穿过一次缝隙;若在第 n 次穿越时刻为 t_n,能量增量量级为:
ΔK_n ≈ q · V_gap(t_n)
若 ω_rf 与 ω_c 匹配,使 t_n 总能落在“加速相位”,则 K 会逐次累积,轨迹螺旋外扩。
3) 失谐为何会“有时推有时拉”
若 ω_rf ≠ ω_c,则每次到达缝隙的相位
φ_n = ω_rf t_n
会逐步漂移。于是 V_gap(t_n) 的符号与大小会改变:有时加速(ΔK>0),有时减速(ΔK<0),平均加速变差甚至抵消。
4) 相对论效应(为何经典回旋加速器有上限)
当速度接近光速时,动量 p = γ m v,回旋角频率变为:
ω_c = |q|B/(γm)
能量增加 ⇒ γ 增大 ⇒ ω_c 下降 ⇒ 即使起初匹配也会逐步失谐。
参数
图表
常见误区
- “频率越高越好”:不对。必须与回旋频率匹配;失谐会导致加速相位跑偏甚至减速。
- “B 只决定半径不影响共振”:B 同时决定回旋频率
ω_c=|q|B/m。 - “永远不需要考虑相对论”:能量高时 γ 增大,频率下降,经典回旋加速器会失谐。
引导问题
引导问题
- 预测:把 B 增大,理论 f_c 会如何变化?轨迹半径在同样能量下如何变化?
- 验证:把 f_rf 调到略高/略低于 f_c,能量曲线会发生什么?相位会漂移吗?
- 拓展:打开相对论开关后,为什么在能量更高时更容易失谐?
M09 直线加速器:相位同步与漂移管
直线加速器(Linac)的核心直觉:RF 腔隙中有纵向电场可以加速; 漂移管内近似无场(屏蔽),粒子在其中“等待”RF 翻转到合适相位后再进入下一个加速缝隙。 因此必须考虑相位同步与漂移管长度随速度增加而变长。
本页面用“离散加速缝隙 + 漂移段”的教学模型展示:同步设计 vs 固定长度导致的相位漂移与能量增长差异。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:推到“漂移管长度 L_n ≈ v_n T/2”
1) 缝隙加速:相位决定加速还是减速
把 RF 纵向电场写成(示意):
E_z(t) = Ê cos(ωt)
若缝隙长度为 g,等效加速电压:
V_gap ≈ Ê g
粒子在第 n 次穿越缝隙时刻为 t_n,则能量增量(教学写法):
ΔK_n ≈ q V_gap cos(ω t_n + φ_0)
因此必须“相位同步”:保证 cos(...) 大多为正且不太小。
2) 漂移管:让粒子“等半个周期再出来”
漂移管内近似无场(不加速),目的:让粒子用时间对齐 RF 的相位翻转。
要让下一次穿缝隙仍然是“加速相位”,常取(π 模式直觉):
Δt_n ≈ T/2 = 1/(2f)
若第 n 段漂移时速度约为 v_n,则长度应满足:
L_n ≈ v_n · Δt_n ≈ v_n · T/2
随着能量升高,v_n 变大 ⇒ L_n 逐级变长(这就是漂移管“越往后越长”的来源)。
3) 固定长度为什么会相位漂移
若 L_n 固定,则实际漂移时间 Δt_n = L / v_n 会越来越小(因为 v_n 增大), 导致到达相位 ω t_n 越来越偏离最优,从而出现加速变差甚至减速的情况。
参数
图表
常见误区
- “只要一直加电场就能一直加速”:不对。RF 电场会随时间反向,必须在合适相位穿过缝隙。
- “漂移管长度无所谓”:不对。速度变大后,若漂移段不变长,会出现相位漂移,甚至在错误相位被减速。
- “相位=0° 永远最佳”:相位选择还涉及束团稳定性等更深入内容(此处不展开)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 f 提高(周期变短),漂移管长度会变长还是变短?为什么?
- 验证:切换到“固定长度”,观察到达相位是否漂移?能量增长是否变差?
- 解释:用“漂移时间≈T/2”解释为什么漂移管长度需要随速度增长。
扩展:变压器(互感与匝数比)
变压器用互感把交流电能从原边“磁耦合”到副边。理想模型给出:
V_s/V_p = N_s/N_p,
I_s/I_p = N_p/N_s,
并满足功率近似守恒 P_p ≈ P_s(忽略损耗)。
本页用正弦稳态的相量/波形思想:负载从纯电阻变为 RL 时,电流会滞后电压,功率因数改变。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:从法拉第定律推到匝比,再连到功率因数
1) 匝比:V_s/V_p = N_s/N_p
理想变压器假设:两线圈耦合到同一主磁通 Φ(t),线圈电压由法拉第电磁感应给出:
v_p(t) = N_p dΦ/dt v_s(t) = N_s dΦ/dt
相除得到(对任意时刻都成立):
v_s/v_p = N_s/N_p
因此对有效值也有:
V_s,rms / V_p,rms = N_s/N_p
2) 电流比:由“功率近似守恒”得到
忽略损耗(理想):
P_p ≈ P_s ⇒ V_p I_p ≈ V_s I_s
又 V_s/V_p = N_s/N_p,因此:
I_p ≈ (V_s/V_p) I_s = (N_s/N_p) I_s
等价写成:
I_s/I_p ≈ N_p/N_s
记忆法:电压按匝数比放大,电流按匝数比反比缩小,功率近似不变。
3) 负载为 RL:相量、阻抗与功率因数
负载阻抗:
Z = R + jωL
幅值:
|Z| = √(R² + (ωL)²)
电流滞后相位:
φ = arctan( ωL / R )(RL 负载中电流滞后电压)
有功功率:
P = V_rms I_rms cosφ
视在功率:
S = V_rms I_rms
无功功率:
Q = V_rms I_rms sinφ
功率因数:
cosφ = R/|Z|
参数
图表
常见误区
- “变压器能把直流电压变高/变低”:理想变压器需要交变磁通,因此不能直接变换纯直流(除非用开关电路先变成交流)。
- “匝数比只影响电压不影响电流”:理想模型中电流也按匝数比反比变化,近似功率守恒。
- “电感负载只会让电流变小”:还会引入相位滞后,使有功功率下降(功率因数变小)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 Ns 加倍,Vs_rms 变成多少?Is_rms 又会怎样变化?
- 验证:切到 RL 负载,增大 L,电流相位滞后会变大还是变小?有功功率会怎样?
- 解释:用“相量/阻抗”解释:为什么 RL 负载下电流不与电压同相?
扩展:RLC 振荡(能量交换与阻尼)
RLC 振荡把“电路里的能量”可视化:电容能量 E_C=½CV² 与电感磁能 E_L=½LI² 在振荡中来回交换,
电阻把能量以焦耳热形式耗散。阻尼越大(R 越大),振荡衰减越快,Q 值越小。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:一张图背下三件事:ω0、α、欠/临界/过阻尼
1) 二阶方程(最标准写法)
串联 RLC 放电(与 M05 同源),电容电压满足:
d²V_C/dt² + (R/L) dV_C/dt + (1/LC) V_C = 0
定义:
ω0 = 1/√(LC) α = R/(2L)
分类:
- 欠阻尼:
α < ω0(振荡衰减) - 临界阻尼:
α = ω0 - 过阻尼:
α > ω0(不振荡,单调回零)
2) 欠阻尼时的通用解(本仓库直接用它画图)
ω_d = √(ω0² - α²)
V_C(t) = V0 e^{-αt} [ cos(ω_d t) + (α/ω_d) sin(ω_d t) ]
I(t) = (V0/(L ω_d)) e^{-αt} sin(ω_d t)
3) Q 值(高中常用近似)
Q ≈ ω0 L / R = (1/R) √(L/C)
Q 大 ⇒ 损耗相对小 ⇒ 振荡衰减慢,但带宽窄、对参数更敏感。
4) 能量交换与耗散(检验思路)
E_C = ½ C V_C² E_L = ½ L I² E_R(t) = ∫ I² R dt
理想情况下:E_C + E_L + E_R ≈ ½ C V0²。
参数
图表
常见误区
- “电感储能在电阻上消失”:电感能量并不会凭空消失,而是通过电流在电阻上转化为热。
- “振荡频率只由 L 或 C 决定”:理想频率
ω0=1/√(LC),两者共同决定;R 会影响阻尼与实际频率。 - “Q 值越大越危险”:Q 描述的是“相对损耗大小”,并不直接等同于危险性(仍需结合电压/电流幅值)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 C 加倍,振荡周期会变大还是变小?为什么?
- 验证:把 R 调到接近 0 与较大值,对比能量曲线:E_R 增长速度有何不同?
- 解释:能量在 E_C 与 E_L 之间交换时,为什么 I(t) 与 V_C(t) 有相位差?
扩展:无线充电(耦合谐振)
无线充电(耦合谐振)的关键字:耦合系数 k、谐振频率、Q 值 与 失谐。 两个谐振回路通过互感耦合,只有在频率合适、损耗较小(Q 大)且耦合适中时,能量才能高效传输。
本页用“两个串联 RLC + 互感 M”的频域模型计算效率曲线 η(f)(离线交互,前端 O(N) 扫频)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:用“阻抗矩阵”推到电流与效率曲线 η(f)
1) 两个谐振回路与互感
两线圈电感 L1,L2,电容 C1,C2,等效电阻 R1,R2,互感:
M = k √(L1 L2)(k 为耦合系数,0≤k≤1)
谐振角频率(各自):
ω01 = 1/√(L1 C1) ω02 = 1/√(L2 C2)(可因 detune 偏离)
Q 值定义(常用):
Q ≈ ω0 L / R
2) 频域方程(相量法)
在角频率 ω 下,回路阻抗:
Z1 = R1 + jωL1 + 1/(jωC1) Z2 = (R2 + R_L) + jωL2 + 1/(jωC2)
耦合项为 jωM。列方程:
Z1 I1 + jωM I2 = V_s jωM I1 + Z2 I2 = 0
解得(背结构即可):
I1 = V_s Z2 / (Z1 Z2 - (jωM)²) I2 = -V_s (jωM) / (Z1 Z2 - (jωM)²)
3) 功率与效率
输入功率(正弦稳态):
P_in = ½ Re{ V_s I1* }
负载功率:
P_L = ½ |I2|² R_L
效率:
η = P_L / P_in
这就是页面上 η(f) 的来源。
4) “双峰/频响分裂”的根源(强耦合两个正常模)
当耦合较强且损耗较小(Q 大),系统更像两个耦合振子,会出现两个正常模频率, 表现为 η(f) 双峰;耦合越强,分裂越明显。
参数
图表
常见误区
- “k 越大效率越高”:不一定。过强耦合会导致频响分裂(双峰)与失配,取决于 Q 与负载。
- “只要调到谐振就行”:失谐会显著降低效率;且系统参数变化(距离、位置、负载)都会改变最佳频率。
- “Q 越大越好”:Q 大意味着损耗小,但带宽变窄,对失谐更敏感。
引导问题
引导问题
- 预测:把 detune 从 0 改到 +0.15,效率峰值会向哪边移动?峰值会变高还是变低?
- 验证:在 Q 很大时,曲线会变“尖”还是“宽”?这对无线充电的鲁棒性意味着什么?
- 解释:为什么耦合过强时会出现“双峰”?(提示:两个耦合振子的正常模)
扩展:霍尔效应(方向判定与 V_H)
霍尔效应把“看不见的载流子受力”变成可测电压:
载流子在磁场中受洛伦兹力 F = q v × B 向一侧偏转,形成横向电场 E_H,
直到电场力与磁力平衡。理想单载流子模型给出
V_H = I B /(n q t)(t 为样品厚度)。
本页展示 V_H 随 I、B、n、t 的变化,并用方向图帮助判断载流子类型(电子/空穴)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:从受力平衡推到 V_H = I B /(n q t)
1) 洛伦兹力把载流子“挤到一侧”
载流子漂移速度 v_d,在 B 中受磁力:
F_B = q v_d B(方向由 v×B 决定)
侧向堆积会形成霍尔电场 E_H,电场力:
F_E = q E_H
平衡条件(稳态):
q E_H = q v_d B ⇒ E_H = v_d B
2) 把 v_d 换成可测的电流 I
电流密度:
J = n q v_d
若样品厚度 t,宽度 w,截面积 A = w t,电流:
I = J A = n q v_d w t
所以:
v_d = I / (n q w t)
代回 E_H = v_d B:
E_H = (I B)/(n q w t)
霍尔电压(跨宽度 w):
V_H = E_H w = I B /(n q t)
符号由 q 决定:电子(q<0)则 V_H 取负(方向反转)。
3) 霍尔系数
R_H := E_H/(J B) = 1/(n q)
测出 R_H 的符号可判断主要载流子类型(电子/空穴)。
参数
图表
常见误区
- “霍尔电压与 B 无关”:不对,理想模型中
V_H ∝ B。 - “n 越大霍尔电压越大”:相反,
V_H ∝ 1/n。 - “符号不重要”:霍尔电压的符号可用于判断主要载流子类型(电子/空穴)。
引导问题
引导问题
- 预测:把 I 加倍,V_H 会如何变化?把 t 加倍呢?
- 验证:切换载流子类型,方向图中 F_L 与 E_H 的方向发生了什么变化?
- 解释:用“平衡:qE_H = q vB”推导出 V_H 与 I、B、n、t 的关系。
扩展:扬声器/麦克风互逆(BL·I 与 BL·v)
动圈扬声器与动圈麦克风体现“互逆性”:
- 扬声器:线圈电流在磁场中受力
F = B L · I,推动振膜振动。 - 麦克风:振膜/线圈在磁场中运动,磁通变化产生感应电动势,近似
e ≈ B L · v(v 为速度)。
本页用“电-机”简化模型展示:机械共振、相位与输出幅值随频率变化。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:把“电-机互逆”写成一套可复用的方程
1) 机械部分:受迫振动(统一写法)
简化为单自由度振子:
m x¨ + b x˙ + k x = F(t)
对正弦稳态 F(t)=Re{F̃ e^{jωt}},位移相量:
X̃ = F̃ / Z_m
其中机械“阻抗”(更准确说是动态刚度):
Z_m = k - mω² + j b ω
幅值:
|X̃| = |F̃| / |Z_m|
共振频率(弱阻尼近似):
f0 ≈ (1/2π) √(k/m)
2) 扬声器:V_in → I → F=BL·I → x
线圈电阻电感组成电阻抗:
Z_e = R_coil + jω L_coil
电流相量:
Ĩ = Ṽ_in / Z_e
力因子(互逆常数)BL:
F̃ = (BL) Ĩ
于是:
X̃ = (BL) Ṽ_in / ( Z_e · Z_m )
这解释了:电感会让电流滞后(相位变化),机械共振会让 |Z_m| 变小从而位移变大。
3) 麦克风:F_ext → x → v → e=BL·v
外界等效力:
F̃_ext → X̃ = F̃_ext / Z_m
速度相量:
Ṽ_mech = jω X̃
动圈切割磁场产生感应电动势(互逆):
ẽ = (BL) · Ṽ_mech = jω (BL) X̃
更完整的电路输出应再乘以分压(负载、线圈阻抗),但本仓库为突出互逆关系,教学近似取:
V_out ≈ e
因此输出幅值:
|V_out| ∝ ω · BL · |X|
4) 互逆性一句话
同一个 BL 同时出现在:
- 扬声器受力:
F = BL · I - 麦克风感应:
e = BL · v
它的量纲可记作:N/A,也等价于 V·s/m(因为 e/v 的单位是 V / (m/s))。
参数
图表
常见误区
- “扬声器只是电路元件”:它是电-机耦合系统,机械共振会影响电声表现。
- “麦克风输出与频率无关”:振膜/系统有机械共振,输出随频率变化明显。
- “BL 只影响扬声器不影响麦克风”:互逆性表明 BL 同时影响受力与感应电动势。
引导问题
引导问题
- 预测:把 k 增大(更“硬”),共振频率会升高还是降低?
- 验证:增大阻尼 b,共振峰会变高还是变矮/变宽?
- 解释:为什么扬声器的电流相位会因 L_coil 而滞后?这会如何影响力 F(t)=BL·I(t)?
扩展:电磁感应加热(涡流与集肤效应)
电磁感应加热的直观链条:交流磁场 → 金属内部产生感应电场 → 涡流 → 焦耳热。
高频下会出现集肤效应:电流主要集中在表面一层厚度 δ 内,
近似 δ ≈ √(2ρ/(ωμ))(ρ 为电阻率,μ 为磁导率)。
本页用教学近似展示 δ(f) 与“相对加热功率指标”随频率的趋势(不涉及任何装置制造或危险实验指导)。
公式推演(展开)
统一符号与约定(全模块通用)
- 时间:
t(s),频率:f(Hz),角频率:ω = 2πf(rad/s) - 电路量:电压
V(V),电流I(A),电阻R(Ω),电感L(H),电容C(F) - 电磁量:电场
E(V/m),磁感应强度B(T),磁通Φ(Wb),电动势/感应电压ε(V) - 质点量:电荷
q(C),质量m(kg),速度v(m/s),力F(N) - 右手定则:
v × B的方向用右手;F = q (v × B),若q<0(电子),方向反向 - 正弦量(峰值/有效值):
- 若
x(t) = X̂ sin(ωt + φ),则X_rms = X̂/√2 - 在“相量/频域”里常用复数表示:
x(t) = Re{ X̃ · e^{jωt} },j² = -1
- 若
- 常见近似(教学用,真实装置会有偏差):
- 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致参数变化
- “等效电压/等效力”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度
目标:从法拉第定律走到集肤深度 δ ≈ √(2ρ/(ωμ)),再理解功率趋势
1) 感应电场的“频率放大效应”
法拉第定律:
∮ E · dl = - dΦ/dt
若磁通 Φ 近似随时间正弦变化:Φ = Φ̂ sin(ωt),则:
|dΦ/dt|_peak = ω Φ̂
因此感应电场(量级)随 ω 增大而增大:E_ind ∝ ωB(趋势记忆)。
2) 涡流与焦耳热
导体电导率 σ = 1/ρ,欧姆定律(局部形式):
J = σ E
焦耳热功率密度:
p = J·E = σ E² = J² ρ
因此(在几何相近时)总体功率常呈现:
P ∝ (ω² B²)/ρ(趋势,忽略集肤)
3) 集肤深度 δ(结果要会用、会判趋势)
在高频下,电磁量在导体内部满足“扩散型方程”,解呈指数衰减:
E(x) ~ E0 e^{-x/δ}
集肤深度(标准结果):
δ = √( 2ρ / (ω μ) )
趋势:
δ ∝ 1/√f:频率越高,电流越集中在表面δ ∝ √ρ:电阻率越大,渗透更深
4) 厚度 t 与“有效体积”
当材料厚度 t 与 δ 比较:
t ≫ δ:主要表面一层在发热,增厚对功率提升不明显t ~ δ:更大体积参与,功率对厚度更敏感
本仓库用一个教学指标表达这点(趋势用):
P_rel ~ (ω² B²/ρ) · (1 - e^{-t/δ})
它把“驱动强度”与“参与体积”两个因素合在一起,便于课堂讨论。
参数
图表
常见误区
- “频率越高 δ 越大”:相反,
δ ∝ 1/√f,频率越高集肤越明显。 - “电阻率越大越容易加热”:一般趋势是功率随 1/ρ 降低,但同时 δ 变大、有效体积变化(此处用简化指标)。
- “磁场只要有就会强烈加热”:功率与 ω 与 B 的增长有关,低频/弱磁场下加热很弱。
引导问题
引导问题
- 预测:把 f 提高 4 倍,δ 会变成原来的多少?(提示:δ∝1/√f)
- 验证:把厚度 t 从 2mm 增到 10mm,当 t≫δ 时,功率随 t 还会明显增加吗?
- 解释:用“感应电动势 ∝ dΦ/dt ∝ ωB”解释:为什么功率对频率很敏感?